Archive for the ‘matematik’ category

Brott och statistik

20 juli 2009

Per Gudmundsson skriver på finaste ledarplats i dagens SvD om ett italienskt experiment. 1 augusti 2006 fick sådär 26 000 fängelsekunder amnesti från det som återstod av deras straff – med det lilla förbehållet att om de skulle dömas för ett nytt brott, skulle de bli tvungna att sitta av även det gamla straffet. Det hela var snarare motiverat av överbeläggning i fängelserna än av sociologisk experimentlusta, men det ger oss ett av få tillfällen att jämföra återfallsfrekvensen hos två i övrigt identiska grupper kriminella, där den ena gruppen kunde vänta sig strängare straff än den andra ifall de skulle åka fast. Och har man sett! Strängare straff fungerar. Hotet om en månad längre straff medför en minskning av återfallen med 1,3 procent, citerar Gudmunsson.

So far, so good. Och därav sluter Gudmundsson – liksom vem som helst, som inte är blind eller idiot – att hotet om ett års längre straff skulle minska återfallen med 12*1,3=15,6 procent. Jajjemensan! För tolv månader är ju exakt tolv gånger värre än en månad, liksom 84 år i fängelse är exakt tolv gånger värre än 7 år. Hotet om 77 månaders längre straff skulle, enligt samma logik, minska återfallsbrotten med 100%. Höj alla fängelsestraff med sex och ett halvt år, och alla återfall i kriminalitet försvinner! Äsch, låt oss höja med tio år när vi ändå håller på. Inte för att jag vet vad negativa återfallsprocent skulle betyda, men det måste ju vara något bra.

Roligt nog motsäger Gudmundsson själv denna teori bara två meningar senare: brottslingar som är dömda till relativt långa straff reagerar mindre än andra, citerar han ur studien.

Diverse extrapolationsmissar åsido är det trots allt intressant med en påvisad effekt av strängare straff. Inte för att det kommer att få tyst på alla människan-är-god-innerst-inne-om-hon-bara-får-chansen-flummisar. Och inte för att alla lås-in-dem-allihop-och-kasta-bort-nyckeln-idioter kommer att drämma det i huvudet på alla som vågar debattera med dem. Utan för att vi äntligen har en liten utkiksglugg in i verkligheten, bortom alla ideologiska debatter om brott och straff och socialt utsatta grupper. 1,3 procent. Så strängare straff har en effekt. Den råkar bara vara tämligen marginell.

Ologisk logik

13 april 2009

Hej alla barn! Idag ska vi prata om logik. Vi börjar med ett vanligt logiskt felslut, exemplifierat i denna krönika av Linda Skugge. Skugge visar oss fem exempel på att det är möjligt att vara framgångsrik egen företagare och samtidigt en god förälder. Samtliga de citerade människorna har gjort vad de ville göra, och lyckats med det. Och härur följer…

…var det någon som drog slutsatsen att om man gör det man vill göra, så kommer man att lyckas? I så fall är ni i gott sällskap. Det är nämligen den slutsatsen Skugge drar. Men det är ett felslut. Skugges exempel visar bara att det är möjligt att lyckas med att göra det man vill. Inte att det är omöjligt att misslyckas, då man gör det man vill. Men vem intervjuar familjen som gjorde ett tappert försök att driva gatukök, men misslyckades efter ett par år och nu har gått tillbaka till att vara anställda? Ingen. Såvida inte gatuköket gick i konkurs p g a vandalism, global ekonomisk kris eller utpressning från MC-gäng, förstås…

Vårt nästa exempel kommer från den berömde Sherlock Holmes. Hans metod för att lösa sina fall gick vanligen ut på att ställa upp alla möjliga lösningar, bevisa att alla lösningar utom en var omöjliga, och därefter dra slutsatsen att den kvarvarande lösningen faktiskt var sann. I detta fall är det inget fel på logiken – den används ofta inom matematik och kallas där indirekt bevis. Antingen är roten ur två ett rationellt tal, eller så är den inte ett rationellt tal. Vi kan visa att roten ur två inte är ett rationellt tal, följaktligen måste den återstående lösningen (roten ur två är irrationellt) vara sann.

Problemet med Holmes’ metod är att det oftast inte är praktiskt möjligt att lista alla möjliga lösningar. Så den rike baroneten har blivit förgiftad, och huvudmisstänkta är Tom, Dick och Harry. Vi har visat att Tom inte hade tillgång till trädgårdsskjulet där arseniken förvarades, och att Dick aldrig var inne i köket och inte kunde ha rört baronetens mat. Alltså måste den skyldige vara Harry – eller? Tom kanske kunde skaffa arsenik någon annanstans? Tänk om baroneten inte fick i sig arseniken med maten, utan istället genom kaffet, eller via sin tandkräm? Är apotekaren inblandad? Eller Sarah Jane, kokerskan, som visserligen saknar motiv och dessutom är kvinna, men som helt klart hade tillgång till baronetens mat?

Matematik är helt enkelt ett specialfall. Och det finns till och med folk som menar att vi inte ens inom matematik kan vara säkra på att vi listat alla möjliga lösningar

Hur man inte bör rapportera enkätundersökningar

3 april 2009

Missförstå mig inte nu. Naturligtvis förekommer det, även i vårt rika, fredliga och välfärdsinriktade land, att föräldrar inte har råd att betala medicinen för sina sjuka barn. Och naturligtvis borde det inte vara så. Visst borde vi som samhälle ha råd att se till att alla barn får den medicin de behöver.

Men att nästan var tionde förälder med barn i grundskolan skulle ha väntat med att hämta ut barnets medicin av ekonomiska skäl? Det är vad Majblommans Riksförbund hävdade i ett pressmeddelande för ett par dagar sedan. Det låter väldigt mycket. Hm. Tetris blir intresserad och snokar vidare efter den fullständiga rapporten (pdf-länk). Från och med sidan sex blir det intressant. ”Majblomman har ställt frågor till 1000 föräldrar med barn i grundskolan.” Jaha, hur fick man tag på ettusen föräldrar? Vimmelintervjuer utanför Centralstationen? SCB? Skolkataloger? Hur representativa är de här tusen? Kanske inte så representativa ändå. En fotnot meddelar att ”Novus Opinion har på uppdrag av Majblomman genomfört webbintervjuer 25 februari – 2 mars 2009”. Den enda rimliga slutsats jag kan komma till, från denna tämligen knapphändiga information, är att man har frågat besökare på Majblommans hemsida om de vill delta i en enkätundersökning. Och det skulle inte förvåna mig ett dugg, ifall personer som har ont om pengar är överrepresenterade bland personer som besöker Majblommans hemsida.

Vidare in i rapporten dyker nästa märkliga fenomen upp. Fråga: ”Har det hänt att du under de 12 senaste månaderna har väntat med att hämta ut X till ditt/dina barn av ekonomiska skäl?” Både för X=glasögon (sida sju) och X=medicin (sida åtta) finns tre svarsalternativ.

  • Ja, jag har väntat.
  • Nej, jag har hämtat ut X / mina barn har inte behövt
  • Vet ej

För det första: vadå ”vet ej”? Har man inte koll på sånt som förälder? Nå. Betydligt allvarligare är att enkätfrågorna klumpar ihop två helt skilda grupper: de som haft råd att köpa X till sitt barn, och de som inte behövt köpa X till sitt barn. Tack vare detta är det omöjligt att säga hur stor andel av de ettusen svarande som har så god ekonomi att de klarar att köpa mediciner och glasögon. Tala om klantig enkätdesign!

Och sedan antar man att de här ettusen är fullt representativa för hela Sveriges befolkning, och multiplicerar de nio procent som inte haft råd att köpa medicin med den dryga miljon skolbarn som enligt SCB är bosatta i landet, och kommer fram till att 90 000 skolbarn i Sverige inte får den behandling de behöver. Borde inte något av den magnituden dyka upp i Apotekets statistik? Eller har inte Apoteket register på hur många recept som aldrig hämtas ut?

Man kan klaga en hel del på Barnombudsmannens sätt att formulera enkätfrågor också, men det har Malin Siwe på DN redan gjort så bra, så bra.

Ett nördigt matteskämt

9 september 2008

-Wow, tjejen, du är verkligen liksidig ikväll! Låt mig få bjuda på en drink.
-Ugh. Nej tack.
-Äsch, kom igen nu! Du och jag… hördu, vi tar och gör en kuboktaeder!
-Uhhh, jag skulle föredra att hålla dethär platonskt.

Stulet härifrån och totalt underbart nördigt!

Trevärd logik

9 juli 2008

Klassisk aristotelisk logik arbetar som bekant bara med två sanningsvärden. Sant eller falskt. Ja eller nej. Jag läste för lite sedan att Aymarafolket istället tänker i tre sanningsvärden: ja, inasa, nej. ”Inasa” tycks kunna översättas antingen ”både ja och nej” eller ”varken ja eller nej” beroende på kontext. Den ursprungliga bloggaren påstod att detta skulle vara unikt för Aymara, men det kan jag inte hålla med om. Även i vår kultur händer det ju att svaret på en fråga blir ”varken ja eller nej”. Vanligen beror det på att den som frågar och den som svarar har olika perception av världen. Vårt talsystem är också tripartit: positivt, noll, negativt. ”Noll” skulle vara en bra representation av ”inasa”. Den kan anses vara både positiv och negativ, eller också anses varken positiv eller negativ, beroende på sammanhanget. Jag tror dock aldrig att vi får se en boolesk algebra med ”-1, 0, 1” för ”falskt, inasa, sant”. Matematiska frågor är för väldefinierade för att ha utrymme för olika världsbilder, och det är i dessa ”felställda” frågor jag ser en möjlighet att svara ”inasa”. Men det vore helt klart intressant att få veta mer om hur Aymara använder ordet!

En annan trevärd logik utgörs av ”ja, okänt, nej”. Det är tveksamt om den kan anses vara riktigt trevärd, eftersom ”okänt” innebär ”antingen ja eller nej, men vi vet inte vilket”. Den här logiken är snarare en utvidgning av tvåvärd logik från en värld där man vet allt, till en värld där inte alla sanningar är kända. Den har uppenbara tillämpningar på praktiska problem, och har en egen boolesk algebra utvecklad. Beskrivs i denna engelska Wikipediaartikel. En riktigt söt variant på samma tema finns här: ”Ja, nej, filenotfound”.

Godis åt antifeministerna

27 juni 2008

”Killar är fetare men de bryr sig inte”, skriver Anna Larsson i en för övrigt läsvärd kolumn i SvD. Bakom påståendet ligger en WHO-undersökning, där det framgår att bland svenska femtonåriga tjejer är 9% överviktiga, mot 15% hos killarna. 48% av tjejerna anser själva att de är överviktiga. Något är uppenbarligen snett här, och jag håller med Larsson om att det knappast bara är mammornas fel. Men att killarna inte skulle bry sig? Enligt samma WHO-undersökning anser 23% av svenska femtonåriga killar att de är för tjocka! Även hos dem är alltså kroppsuppfattningen skev åt anorexiahållet. Läget är mycket värre för flickorna, men att killar inte skulle bry sig är ett faktafel av precis den typ som triggar de antifeministiska reflexerna. Hos båda könen ser vi ju att fler anser att de är överviktiga, än de som faktiskt är överviktiga. Mums… godis!

Jag är själv ingen större vän av fortsatt feministisk kamp (anser att de viktiga segrarna redan är vunna i Sverige, och att vi har viktigare saker att ta tag i), men på området kroppsuppfattning finns uppenbarligen ett och annat att göra. Så… synd på en så ovanligt välunderbyggd kolumn att den där lilla generaliseringen slank med. Och framtida du-duger-som-du-är-satsningar kunde gärna få vara öppna för alla, även om fokusgruppen är unga tjejer. (Uppdatering: Precis som den jag länkar till… insåg för sent att det kunde misstolkas, sorry!)

Problem på väg

9 juni 2008

Större delen av idag tillbringade jag på motorvägen. Och ur en tråkighet så djup att den fick mig att läsa avståndsskyltarna med intresse, föddes följande matteproblem:

    Antag att Österköping ligger 40 km från Västerköping.

  1. Hur många platser finns det som ligger 10 km från Österköping och 15 km från Västerköping?
  2. Hur många platser finns det som ligger 35 km från Österköping och 10 km från Västerköping?
  3. Hur många platser finns det som ligger 60 km från Österköping och 20 km från Västerköping?
  4. Hur många platser finns det som ligger dubbelt så långt från Österköping som från Västerköping?

Jordytans krökning får försummas. 🙂